Художница А. Ф. Боева родилась 5 февраля 1889 года в городе Ельце Орловской губернии. У нее было еще три сестры, одна из которых Нина Федоровна (1890-1956) стала астрономом.
Когда Анне Боевой было пять лет, она вместе с родителями в 1894 году переехала на жительство в Воронеж. 15 июня 1906 года она получила аттестат и свидетельство об окончании полного курса наук за № 169 в Воронежской Мариинской женской гимназии.
Затем около двух лет А. Ф. Боева работала репетитором, училась в Воронежской бесплатной рисовальной школе, участвовала в выставках ученических работ рисовальных и художественных школ, подведомственных Академии художеств в Санкт-Петербурге (1908-1909).
В 1912-1913 годы она провела за границей, где посещала Академию искусств в Париже.
В 1911-1916 годах А. Ф. Боева занималась в Московском училище живописи, ваяния и зодчества (МУЖВЗ). Её наставниками были В. Н. Бакшеев, Н. А. Касаткин, С. М, Волнухин. Участница выставок с 1915 года.
В 1918-1922 годах Анна Федоровна работала в Наркомпросе. Была одним из организаторов Свободных художественных мастерских в Воронеже (1919), Екатеринбурге, Пензе. В 1818-1919 годах она была заведующей художественно-просветительным подотделом Воронежского губернского отдела народного образования. В 1920 году вышла замуж за художника-авангардиста Петра Ефимовича Соколова (1882–1968). С 1922 года А. Ф. Боева преподавала в средних школах Москвы.
С 1937 года являлась членом Московской организации Союза художников.
А. Ф. Боева в основном рисовала акварелью, карандашом, тушью и сепией разные пейзажи, а также офорты. Была участницей выставок в Москве (1942, 1949, 1971 (совместно с П. Е. Соколовым, студия имени И. И. Нивинского). А. Ф. Боева исполнила пейзажи Воронежской области (1924-1934), Крыма (1934-1939), Подмосковья (1939-1962), «Канал Москва-Волга» (серия, 1959-1963) и другие. Выполнила серию офортов «На канале им. Москвы» (1940-1950), акварельные пейзажи Крыма, Подмосковья (1950-1970).
Умерла А. Ф. Боева 19 апреля 1974 года в Москве.
